Varianza Poblacional y Muestral

Propiedades de la varianza.

Algunas propiedades de la varianza son:

$V(X) \geq 0 \,\!$
$V(aX + b) = a^2 V(X) \,\!$ siendo a y b números reales cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero, es decir, $V(b) = 0 \,\!$
$V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) \,\!$ , donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
$V(X-Y) = V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y) \,\!$ , donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.

Varianza muestral

En muchas situaciones es preciso estimar la varianza de una población a partir de una muestra. Si se toma una muestra con reemplazamiento $(y_1,\dots,y_n)$ de n valores de ella, de entre todos los estimadores posibles de la varianza de la población de partida, existen dos de uso corriente:

$s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2$

y Cuando los datos están agrupados:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^n f_i y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}$

A los dos (cuando está dividido por n y cuando lo está por n-1) se los denomina varianza muestral. Difieren ligeramente y, para valores grandes de n, la diferencia es irrelevante. El primero traslada directamente la varianza de la muestra al de la población y el segundo es un estimador insesgado de la varianza de la población. De hecho,mientras que

$E[s_n^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2$ Propiedades de la varianza muestral

Como consecuencia de la igualdad $\operatorname{E}(s^2)=\sigma^2$ , s² es un estadístico insesgado de $\sigma^2$ . Además, si se cumplen las condiciones necesarias para la ley de los grandes números, s² es unestimador consistente de $\sigma^2$ .

Más aún, cuando las muestras siguen una distribución normal, por el teorema de Cochran, $s^2$ tiene la distribución chi-cuadrado:

$(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.$

Varianza Poblacional y Muestral

viernes, 19 de octubre de 2012

Matematica

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